Скалярное произведение (dot product) двух векторов легко определить и легко вычислить. Для двумерных векторов (а,, а2) и (6,, Ь2) это просто скаляр, величина которого равна aib[ + a2b2. Таким образом, для того чтобы вычислить скалярное произведение, надо перемножить соответствующие компоненты двух векторов и сложить результаты. Например, скалярное произведение векторов (3,4) и (1,6) равно 27, а для векторов (2,3) и (9, -6) оно равно 0.
Определение скалярного произведения легко обобщается на п измерений.
Определение скалярного произведения. Скалярное произведение двух w-мерных векторов v = (vv v2.....vn)
и w = (wt, w2,…, wn) обозначается v w и имеет величину:
d = v- w= ^v,wr (4.11)Пример 4.3.1
О Скалярное произведение (2, 3, 1) и (0, 4, -1) равно 11. О (2, 2, 2, 2)-(4, 1,2, 1,1)-16,2. О (1,0,1,0, 1). (0, 1,0, 1,0)- 0. О (169,0, 43)-(0,375,3, 0) = 0.
4.3.1. Свойства скалярного произведения Скалярное произведение обладает четырьмя главными свойствами, которые мы часто используем и которые с очевидностью следуют из его основного определения:
1. Симметрия (коммутативность): а b = b а.
2. Линейность (дистрибутивность): (а + с) b = а b + с Ь.
клиники эпиляции с александритовым лазером. аренда шатра с местом.
3. Однородность (ассоциативность): (sa) b = s(a b).
4. |b|2 = b-b.Первое свойство означает, что порядок, в котором следуют два вектора, не играет роли: скалярное произведение коммутативно (commutative). Из двух следующих свойств следует, что скалярное произведение линейно (linear): скалярное произведение суммы векторов можно выразить как сумму отдельных скалярных произведений, а масштабирование любого вектора масштабирует и величину скаляр-
Векторные инструменты для графики
ного произведения. В последнем свойстве утверждается, что скалярное произведение вектора на тот же вектор равно квадрату длины этого вектора. Это свойство часто записывают в форме: |b| = Vb-b.
Выкладки примера 4.3.2 показывают, как вышеприведенные свойства могут быть применены для упрощения выражений, содержащих скалярное произведение. Результаты будут непосредственно использованы в следующем разделе.