1 Существуют такие системы, в которых скаляры могут быть комплексными, однако здесь они нам не понадобятся.
Векторные инструменты для графики
из конца вектора с и заканчивающемуся в конце вектора а (см. рис. 4.7, в). Этот вектор равен одной из диагоналей параллелограмма, образованного векторами а и с. Отметим, что вторая диагональ этого параллелограмма представляет собой сумму а + с.
4.2.2. Линейные комбинации векторов После введения правил сложения и масштабирования векторов мы можем определить линейную комбинацию (linear combination) векторов. Для того чтобы составить линейную комбинацию двух векторов v и w (одной и той же размерности), нужно масштабировать каждый из них с помощью скаляров, например а и Ь, и сложить эти взвешенные величины для создания нового вектора av + bw. Дадим более общее определение линейной комбинации т векторов.
Определение. Линейной комбинацией т векторов v(, v2,…, vra называется вектор вида
w - alvl + a2v2 + … + avm, (4.2)где я,, а2,ат - скаляры.
Например, линейная комбинация двух векторов 2(3,4, -1) + 6(-1,0, 2) образует вектор (0,8,10). В последующих главах мы будем оперировать с довольно сложными линейными комбинациями векторов, особенно когда будем искать представление кривых и поверхностей с помощью сплайн-функций.
Аффинные комбинации векторов Линейная комбинация векторов называется аффинной комбинацией (affine combination), если сумма коэффициентов flj, а2.....ат равна единице. Таким образом, линейная комбинация в равенстве (4.2) является аффинной, если
ai + a2+… + am=l. (4.3)Например, За + 2Ь - 4с является аффинной комбинацией векторов а, b и с, в то время как За + b - 4с таковой не является. Коэффициенты линейной комбинации двух векторов а и b часто искусственно приводят к тому, чтобы их сумма равнялась единице, умножая один вектор на некий скаляр t, а второй - на (1 - С), как показано ниже:
(1-С)а + (С)Ь. (4.4)
Аффинные комбинации векторов появляются в различных контекстах, так же как и аффинные преобразования точек, как мы увидим позднее.