Рациональные сплайны представляются в однородных координатах, поскольку их знаменатель можно рассматривать как однородный коэффициент h в четырехмерном представлении контрольных точек. Следовательно, рациональный сплайн можно расценивать как проекцию четырехмерного нерационального сплайна в трехмерное пространство.
Вообще, представление рациональными би-сплайнами выполняется с использованием тех же процедур, что применяются для получения нерационального представления. Для данного набора контрольных точек, степени полинома, весовых коэффициентов и вектора узлов с помощью рекуррентных соотношений находятся стыковочные функции. Затем в какой-нибудь системе автоматизированного проектирования строится коническое сечение по заданным трем точкам на дуге. После этого определяется представление рациональными сплайнами в однородных координатах, для чего вычисляются положения контрольных точек, которые дадут коническое сечение выбранного типа.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЖДУ СПЛАЙНОВЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ
Иногда бывает удобно переключиться с одного сплайнового представления на другое. Например, представление Безье наиболее подходит для деления сплайновой кривой, а би-сплайны предлагают большую конструкционную гибкость. Таким образом, кривая может разрабатываться с помощью би-сплайновых участков, затем преобразовываться в эквивалентное Безье-представление для отображения объекта с размещением точек на кривой с использованием рекурсивной процедуры деления.
ОТОБРАЖЕНИЕ ОНЛАЙНОВЫХ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Чтобы отобразить сплайновую кривую или поверхность, необходимо определить координаты точек кривой или поверхности, проектирующихся в пиксели устройства вывода на экран. Это означает, что нужно вычислить параметрические полиномиальные сплайновые функции с определенным шагом в области определения функций. Для эффективного выполнения этих расчетов было разработано несколько методов.
ПРАВИЛО ГОРНЕРА
Простейшим методом расчета значения полинома (кроме прямого последовательного вычисления значения каждого члена) является правило Горнера (Homer’s rule), согласно которому вычисления определяются через последовательную факторизацию. Схема требует одного умножения и одного сложения на каждом этапе, причем полином п-й степени обрабатывается за п шагов.
МЕТОДЫ ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ
Процедуры рекурсивного подразделения сплайнов используются для последовательного деления данного участка кривой пополам с увеличением на каждом шаге числа контрольных точек. Методы подразделения полезны при выводе на экран аппроксимирующих сплайновых кривых, поскольку процесс подразделения можно продолжать, пока график, построенный по контрольным точкам, не аппроксимирует траекторию кривой. Затем контрольные точки можно изобразить как точки кривой. Другое применение подразделения - генерация большего числа контрольных точек для настройки формы кривой. Следовательно, общую форму кривой можно спроектировать с помощью нескольких контрольных точек, затем применить процедуру подразделения и получить дополнительные контрольные точки, используя которые идеально настраиваются небольшие участки кривой.