Такая запись эквивалентна приведенной выше записи по строкам (и получается из нее транспонированием).

Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтому чтобы реализовать то или иное отображение, т. е. найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью рассматриваемой задачи и с описанными выше частными случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе ищется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев А, Б, В или Г, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.

Выпишем соответствующие матрицы третьего порядка.

А. Матрица вращения (rotation) Б. Матрица растяжения (сжатия)

[R] =

coscp sincp О - sin ф COS ф О О 0 1

(^dilatation)

а О О

О 5 О

О О 1

В. Матрица отражения (reflection)

'1 О О" [м]= 0-10 0 0 1

Г. Матрица переноса (translation)

"1 0 0*

[т]= 0 1 0

X р 1

Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости. Пример 1. Построить матрицу поворота вокруг точки А (а, Ъ) на угол (р (рис. 7.9).

1-й шаг. Перенос на вектор А(-а,-Ъ) для совмещения центра поворота с началом координат;

1 0 0"

матрица соответствующего преобразования.

[Т-аЬ

а

1 0 -Ь 1

7. Преобразования на плоскости

2-й шаг. Поворот на угол Ф;

cos ф sin ф О [яф]= -БШф С08ф О

[О 0 1 матрица соответствующего преобразования.

о А <Л Ф

-------->►
X

Рис. 7.9

3-й шаг. Перенос на вектор А(а, Ь) для возвращения центра поворота в прежнее положение; матрица соответствующего преобразования.

1 0 0 [ТА]= 0 1 0 а Ь 1

Перемножим матрицы в том же порядке, как они выписаны:

!т-а][к ф][та] В результате получим, что искомое преобразование (в матричной записи) будет выглядеть следующим образом:

(х*у*і)=(хуі)х

4 СОБф БІПф 0

-БІПф СОБф 0

-асо8ф + Ь5Іпф + а - а бігі ф - Ьсобф + Ь 1

Элементы полученной матрицы (особенно в последней строке) не так легко запомнить. В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по геометрическому описанию соответствующего отображения легко строится.

⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒