Среди других рассмотренных нами важных свойств - скорость кривой и нормальный вектор к кривой в каждой ее точке. Было определено понятие «гладкости» и продемонстрированы ее тонкости. Например, 1-гладкая кривая имеет непрерывную скорость (то есть производную по параметру I) повсюду вдоль своей траектории, однако если при параметризации скорость в какой-нибудь точке обращается в нуль, где направление кривой меняется скачкообразно, то такая кривая по-прежнему остается 1 -гладкой, хотя в геометрическом смысле образует угол. Для описания кривых, не имеющих углов, было введено понятие С-непрерывности. Были исследованы различные семейства кривых. В их числе были рассмотрены конические сечения, кривые на базе полиномов, а также на базе отношения полиномов.
В главе также рассматривался вопрос о формировании плавно изменяющихся кривых с помощью набора контрольных точек. Этот подход является основным в задачах компьютерного геометрического дизайна (САвО). Дизайнер может задать небольшое количество точек, которые при различных численных сочетаниях выступают как исходные данные при создании формы кривой. Подчеркнуто различие между кривыми, интерполирующими эти контрольные точки, и кривыми, которые только аппроксимируют их. В любом случае из небольшого набора контрольных точек с помощью определенного алгоритма формируется бесконечное множество точек кривой, по одной для каждого значения параметра г.
Первыми были определены кривые Безье - по причине их простоты. Происхождение этих кривых связано с итерационным процессом твининга (процесс де Кастельо), что вносит в их свойства большую степень интуитивности. Оказалось, что кривые Безье обладают значительным ассортиментом полезных свойств, что делает их форму предсказуемой и помогает дизайнеру, когда он или она задают контрольные точки.
Кривые Безье являются полезными во многих задачах конструирования, однако они не обеспечивают локального контроля, поскольку входящие в них полиномы Бернштепна имеют поддержку на протяжении всего промежутка изменения параметра. Еще одна сложность состоит в том, что порядок базисных полиномов возрастает по мере увеличения числа контрольных точек. Это обстоятельство приводит к «сокращению» предполагаемых изменений и может сделать кривые более сложными и менее устойчивыми с вычислительной точки зрения. Поэтому нами был рассмотрен более широкий класс стыковоч-