1>*^, (11.32)* = о где все ак неотрицательны и ^ак = 1.
Кривая Р(г) из уравнения (11.25) является выпуклой комбинацией своих контрольных точек для любого t, поскольку ни один из полиномов Бернштейна никогда не бывает отрицательным, а их сумма равна единице. Таким образом, каждая точка на кривой Безье является выпуклой комбинацией своих контрольных точек, поэтому она лежит внутри выпуклой оболочки своих контрольных точек.
Свойство выпуклой оболочки также непосредственно следует из того факта, что каждая точка на кривой является результатом твининга двух точек, которые сами являются твинами, а твининг двух точек образует их выпуклую комбинацию. На рис. 11.17 показано, как дизайнер может использовать свойство выпуклой оболочки. Хотя восемь контрольных точек образуют самопересекающийся контрольный полигон, дизайнер знает, что кривая Безье будет плавно проходить между двумя концевыми точками, никогда не выходя за пределы выпуклой оболочки.
Линейная точность
Может ли кривая Безье быть простой прямой линией? Из свойства выпуклой оболочки следует, что это возможно: если все контрольные точки расположены на прямой, то их выпуклая оболочка вырождается в прямую линию. Следовательно, кривая Безье «захватывается» этой оболочкой и поэтому должна быть также прямой линией. Такое свойство - превращение части кривой в прямую линию путем соответствующего подбора контрольных точек - называется линейной точностью (linear precision).
Свойство уменьшения колебаний Грубо говоря, кривые Безье не могут «колебаться» больше, чем это делает их контрольный полигон. Точнее, ни одна прямая линия (или, в трехмерном случае, ни одна плоскость) не может иметь с кривой Безье больше пересечений, чем она имеет с контрольным полигоном этой кривой. На рис. 11.18
11.5. Свойства кривых Безье приведена кривая Безье на базе контрольного полигона Р. Прямая Ь пересекает полигон Р пять раз, а кривую Безье только три раза. Нельзя найти ни одной прямой, которая пересекает кривую чаще, чем она пересекает полигон Р; это свойство может быть доказано для кривой Безье в общем виде (см., например, [Багт, 60]). Это свойство пригодится дизайнерам кривых при наметке контрольного полигона: они могут с уверенностью предсказать, что результирующая кривая Безье не будет сильно извиваться или демонстрировать дополнительные отклонения и извивы. (С другой стороны, некоторые альтернативные технологии конструирования кривых, например некоторые интерполяционные схемы, могут приводить к непредсказуемым флуктуациям.)