Нетрудно показать (см. упражнения), что четырехточечная кривая Безье имеет следующую параметрическую форму:
P(t) - Р0(1 - О3 + Р,3(1 -1)4 + Р23(1 - t)t2 + P3t\ (11.21)
что является кубическим полиномом относительно t. Каждой контрольной точке Р. в этом кубическом полиноме придается определенный вес, после чего эти взвешенные точки складываются. Члены, входящие в данный полином, носят название полиномов Бернштейна (Bernstein polynomials). Четыре кубических полинома Бернштейна имеют вид1:
1 Верхний индекс ие означает возведение в куб, а указывает на степень полинома. - Примеч. пер.
Создание кривых и поверхностей
![](/books/images/tmp8E4A-749.png)
(11.22)
![Кривая Безье на базе четырех точек](/books/images/tmp8E4A-750.png)
Рис. 11.13. Кривая Безье на базе четырех точек Кубические полиномы Бернштейна легко запомнить, поскольку они совпадают с членами разложения выражения [(1 - 0 + г13> полученными после приведения подобных членов"images/tmp8E4A-751.png">
В таком случае очевидно, что точка P(t) является аффинной комбинацией точек, поэтому эти взвешенные точки можно складывать. (Вспомним задачу сложения точек в главе 4.)
На рис. 11.14 приводятся графики четырех полиномов Бернштейна третьей степени при изменении t от 0 до 1. Видно, что эти полиномы плавно изгибаются по мере изменения t. Позднее мы увидим, насколько они «плавны».
![Полиномы Бернштейна третьей степени](/books/images/tmp8E4A-752.png)
Рис. 11.14. Полиномы Бернштейна третьей степени На рис. 11.15 приведена геометрическая иллюстрация сопряжения четырех точек Р0, Р{, Р2, Р3 из уравнения (11.21) для формирования точки P(t). Если представить эти точки как векторы, исходящие из начала координат (при этом вместо Р0 мы пишем р0 и т. д.), то при t - 0,3 данное уравнение примет вид"opengl1_771.html">⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒