Полиномиальные кривые степени 1
Мы уже исследовали линейные полиномы и знаем, что линейная параметрическая форма для x(t) и y(t) описывает прямую линию, а соответствующая неявная форма линейна по х и по у.
Полиномиальные кривые степени 2
Естественно спросить, какие формы кривых получаются при использовании квадратичных полиномов: x(t) - at2 + 2bt + с,
y(t) = dt2 + 2et+f, (11.10)где a, b,…,f- константы. Ответ прост (однако несколько разочаровывает): такая кривая всегда является параболой - при любом наборе констант a, b,…,f. Таким образом, с помощью уравнений (11.10) нельзя сформировать эллипс или гиперболу.
Неявные формы второй степени Попробуем иной путь и рассмотрим неявные квадратичные формы, то есть полиномы степени 2 по х и по у. Вспомним из аналитической геометрии, что общий вид неявной формы второй степени выглядит так:
F(x, у) = Ах2 + 2Вху + Cy2 + Dx + Ey + F, (11.11)
где А, В,…, F- константы. Кривая, описываемая уравнением F(x,y) = 0, представляет собой коническое сечение (только если оно невырожденное; см. упражнения в конце раздела). Какое именно коническое сечение отображается этой кривой, зависит от значения дискриминанта (discriminant) АС - В2: Если А С - В2 > 0, то кривая является эллипсом.
Если АС - В2 - 0, то кривая является параболой. (11-12) Если АС - В2 < 0, то кривая является гиперболой.
Следовательно, выражение х2 + ху + у2 - 1 является неявной функцией для эллипса (АС - В2 - 0,5), х2 + 2ху + у2 + Зх - 6у - 7 - неявная функция для параболы (АС-В2 = 0), а х2 + Аху + 2у2 - 4х + у - 3 - неявная функция для гиперболы (АС - В2 = -1).
Уравнения конических сечений с общей вершиной. Частный случай квадратичной формы общего вида, задаваемой уравнением (11.11), является хорошей иллюстрацией взаимозависимости всех трех видов конических сечений. Здесь используется так называемое уравнение с общей вершиной: у2 = 2рх - (1 - г2)х2. (11.13)
Кривая, представленная этим уравнением, проходит через точку (0,0) и обладает общим масштабным коэффициентом, пропорциональным константе р. Вид описываемого этим уравнением конического сечения зависит от значения эксцентриситета (eccentricity) е, как показано на рис. 11.5. В упражнениях при рисовании этого множества кривых используются все возможные варианты параметризации.