Практические упражнения
11.1.1. Проведение касательных к эллипсу
Напишите подпрограмму, которая рисует эллипс, изображенный на рис. 11.2, а также короткий отрезок касательной к этому эллипсу для любого значения параметра t, вводимого пользователем.
11.1.2. Нахождение касательных к эллипсу
Напишите параметрические формулы касательных к эллипсу, заданному уравнениями (3.13), для следующих значений времени: t = 0, t = л/4, t = л/2, t = л. Нарисуйте на миллиметровке этот эллипс, а также четыре касательных к нему. Кроме того, вычислите и нарисуйте в указанных точках направления нормалей к эллипсу.
11.1.3. Касательные и нормали Найдите выражение для вектора касательной и вектора нормали для суперэллипса согласно уравнениям (3.18) для любого значения t.
11.1.4. Касательные и нормали к коническим сечениям Найдите выражения для вектора касательной и вектора нормали при любом значении t для параболы и гиперболы.
11.1.5. Найдите параметрическое представление Найдите параметрическое представление P(t) для кривой, приведенной на рис. 11.4. Эта кривая начинается в точке А при г = 0, движется на всем своем протяжении с постояшюй скоростью и заканчивается в точке В при t = 20.
11.1.6. Другая параметрическая форма окружности В дополнение к разнообразным представлениям, получающимся при «искривлении времени», для некоторых кривых существуют простые представления, сильно различающиеся по своему характеру. Покажите, что нижеследующая форма при изменении параметра t от 0 до бесконечности образует часть окружности:
11.2. Описание кривых полиномами Чему равен радиус этой окружности и где находится ее центр? Какая часть окружности генерируется при изменении t от 0 до 1?
Подсказка. Вспомните следующие соотношения для некоторого параметра Ь: если Т - tg(ft/2), то sin(fe) - 27/(1 + Т2) и cos(b) - (1 - Р)/(1 + Г). 11.1.7. О С-непрерывности Фарин [Farin, 60] дает следующее определение С*-непрерывности: «Кривая P(t) является С*-непрерыв-ной, если существует регулярная репараметризация, после которой она становится Ä-гладкой». Это означает, что если можно найти монотонно возрастающую функцию g(.), такую что ее репараметризация P(g(t)) является ^-гладкой, то исходная кривая P(t) будет (^-непрерывной. Для регулярностиg(t) необходимо, чтобы кривая P(g(t)) = (f(t), h{t)) «никогда не останавливалась». Это означает, что производные /'(f) и й'(г) нигде не должны обращаться в нуль. Сейчас мы рассмотрим различные выводы из данного определения.