Последовательные поколения кривой Коха обозначаются К0, KVK2.....Форма нулевого поколения К0- это просто горизонтальная прямая единичной длины. Кривая Kt показана на рис. 9.1. Для создания кривое /С, разделим прямую К0 на три равные части и заменим среднюю из них треугольным «зубцом» со сторонами длиной 1/3. Очевидно, что длина всей линии составляет 4/3. Кривая второго поколения К2, также показанная на рисунке, образована путем построения зубца на каждом из четырех отрезков линии Кг
9.2.1. Последовательное усложнение кривых
_Л
>Рис. 9.1. Два поколения кривой Коха
1 Мандельброт образовал этот термин от латинского fraclus, что означает «фрагмеитированный» или «нерегулярный», но также имеет смысл «дробной размерности» («fractionaidimensionai»).
Приближение к бесконечности
Для создания кривой Коха Кп+, из Кп необходимо разделить каждый отрезок кривой Кп на три равные части и заменить среднюю часть зубцом в форме равностороннего треугольника.
В течение этого процесса длина каждого отрезка увеличивается в 4/3 раза, следовательно, общая длина кривой в 4/3 раза больше длины кривой предыдущего поколения. Тогда общая длина кривой К( составляет (4/3)' и увеличивается с ростом и Когда (стремится к бесконечности, длина кривой становится бесконечной.
Снежинка Коха на рис. 9.2 образована из трех соединенных вместе кривых Коха. Периметр 5. *'-го поколения этой формы втрое больше длины простой кривой Коха и, следовательно, равен 3-(4/3)'', что, разумеется, неограниченно возрастает при увеличении и Однако площадь, ограниченная снежинкой Коха, растет довольно медленно и в пределе (см. упражнения 9.2.1-9.2.3) 5. составляет всего 8/5 от площади 50! Таким образом, ребро снежинки Коха становится все более извилистым и все более длинным, а ее площадь остается ограниченной. На рис. 9.3 приведены третье, четвертое и пятое поколения снежинок Коха.
Рис. 9.2. Первые несколько поколений снежинки Коха
Рис. 9.3. Снежинки Коха s,, %Л, ss
Кривая Коха Кя является самоподобной в следующем смысле"opengl1_602.html">⇐ Предыдущая| |Следующая ⇒