F-(2x,2y,2z),откуда, переходя к параметрической форме и деля на 2, получим выражение для нормали: п(и, v) = (cos(z>) cos(m), cos(») sin(m), sin(fl)). , (6.44)
Нормали для других поверхностей второго порядка могут быть получены столь же просто, поэтому нет необходимости приводить их таблицу.
Практические упражнения
6.5.23. Гиперболоид - это линейчатая поверхность
Покажите, что неявная форма однополостного гиперболоида может быть записана в виде: (х + z)(x-z)*= = (1 ~ У) (1 + У)- Покажите также, что из этого следует, что на данной поверхности располагаются два семейства прямых: семейство х - z = Л (1 - г/) и семейство А(х + z) = 1 + у, где А - константа. Нарисуйте эти семейства при различных значениях А. Исследуйте аналогичные образующие для гиперболического параболоида.
6.5.24. Однополостный гиперболоид Докажите, что альтернативная параметрическая форма для однополостного гиперболоида имеет вид: р(и, V) = (ch(z>) cos(h), ch(z>) sin(h), sh(a)).
6.5.25. Следы квадрик - коники Рассмотрим любые три неколлинеарные точки, лежащие на какой-либо поверхности второго порядка. Они определяют плоскость, которая пересекает эту поверхность, образуя кривую следа. Докажите, что эта кривая всегда является параболой, эллипсом или гиперболой.
6.5.26. Нахождение нормалей к поверхностям второго порядка Найдите в параметрической форме нормальные векторы для каждой из шести поверхностей второго порядка.
6.5.27. Гиперболоид как линейчатая поверхность
Пусть (х0, у0, 0) - точка на поверхности однополостного гиперболоида. Докажите, что вектор R(t) = (x0 + y0t,y0-x0t,t)
описывает прямую линию, полностью лежащую на гиперболоиде и проходящую через точку (х0, у0,0). Является ли это свойство достаточным для того, чтобы поверхность была линейчатой? Почему да или почему нет [Apostol, 4]?
6.5.28. Гиперболический параболоид как линейчатая поверхность
Покажите, что любая плоскость, параллельная прямой у = ±дг, пересекает гиперболический параболоид по прямой линии.