F-(2x,2y,2z),откуда, переходя к параметрической форме и деля на 2, получим выражение для нормали: п(и, v) = (cos(z>) cos(m), cos(») sin(m), sin(fl)). , (6.44)
Нормали для других поверхностей второго порядка могут быть получены столь же просто, поэтому нет необходимости приводить их таблицу.
прокат катера без капитана спб. оборудование для получения слепков стопы.
Практические упражнения
6.5.23. Гиперболоид - это линейчатая поверхность
Покажите, что неявная форма однополостного гиперболоида может быть записана в виде: (х + z)(x-z)*= = (1 ~ У) (1 + У)- Покажите также, что из этого следует, что на данной поверхности располагаются два семейства прямых: семейство х - z = Л (1 - г/) и семейство А(х + z) = 1 + у, где А - константа. Нарисуйте эти семейства при различных значениях А. Исследуйте аналогичные образующие для гиперболического параболоида.
6.5.24. Однополостный гиперболоид Докажите, что альтернативная параметрическая форма для однополостного гиперболоида имеет вид: р(и, V) = (ch(z>) cos(h), ch(z>) sin(h), sh(a)).
6.5.25. Следы квадрик - коники Рассмотрим любые три неколлинеарные точки, лежащие на какой-либо поверхности второго порядка. Они определяют плоскость, которая пересекает эту поверхность, образуя кривую следа. Докажите, что эта кривая всегда является параболой, эллипсом или гиперболой.
6.5.26. Нахождение нормалей к поверхностям второго порядка Найдите в параметрической форме нормальные векторы для каждой из шести поверхностей второго порядка.
6.5.27. Гиперболоид как линейчатая поверхность
Пусть (х0, у0, 0) - точка на поверхности однополостного гиперболоида. Докажите, что вектор R(t) = (x0 + y0t,y0-x0t,t)
описывает прямую линию, полностью лежащую на гиперболоиде и проходящую через точку (х0, у0,0). Является ли это свойство достаточным для того, чтобы поверхность была линейчатой? Почему да или почему нет [Apostol, 4]?
6.5.28. Гиперболический параболоид как линейчатая поверхность
Покажите, что любая плоскость, параллельная прямой у = ±дг, пересекает гиперболический параболоид по прямой линии.