Другие линейчатые поверхности Существует много других интересных линейчатых поверхностей. На рис. 6.55, а приведена двойная спираль, которая образуется тогда, когда кривые Ра(и) и Р,(и) являются спиралями, обвивающимися одна относительно другой. На рис. 6.55, б показана поразительная лента Мёбиуса (Möbius strip), которая имеет всего одно ребро. Параметрические представления этих поверхностей исследуются в упражнениях. На рис. 6.55, в изображен сводчатый купол, составленный из четырех линейчатых поверхностей. В тематическом задании 6.8 рассматривается моделирование таких сводчатых куполов для соборов.
Билинейно сопряженные поверхности: лоскуты Кунса Интересным и полезным обобщением линейчатой поверхности, интерполирующей две граничные кривые Р0(и) и Р,(и), является билинейно сопряженный лоскут, интерполирующий четыре граничные кривые. Впервые семейство таких лоскутов было исследовано Стивеном Купсом (Steven Coons - [Coons, 48]) и поэтому иногда его называют лоскутом Кунса (Coons patch).
На рис. 6.56 изображены четыре примыкающие граничные кривые, обозначенные рм, puV pQv, pu. Эти кривые пересекаются в углах изображенного лоскута (где unv принимают значения 0 или 1), а при других значениях параметров эти кривые могут иметь любую форму. Следовательно, данный пример является обобщением билинейного лоскута, границы которого являются прямыми линиями. Выведем формулу для поверхности P(u, v), осуществляющей плавный переход от одной граничной кривой к другой по мере изменения значений и и v.
В первую очередь естественно попытаться скомбинировать линейчатый лоскут, построенный изрий(и) и ри1(и), с линейчатым лоскутом, построенным из p0c(v) и pu,(v). Однако простое сложение этих поверхностей не дает результата: не удается правильно интерполировать четыре кривые (кроме того, эта операция некорректна, поскольку дает иеаффппную комбинацию точек!). Хитрость заключается в том, чтобы сложить эти поверхности, а затем вычесть билинейный лоскут, построенный на четырех углах граничных кривых. На рис. 6.57 наглядно показано, как это делается [Heckbert, 106].
роторные аксиально-поршневые насосы и гидромоторы.