Это довольно общий результат, показывающий, как повернутая точка Q может быть разложена на части вдоль вектора h и вдоль двух ортогональных осей, лежащих в плоскости вращения.
В представлении точки Q, приведенном в уравнении (5.48), с трудом можно узнать произведение точки Р на некоторую матрицу, однако это так, поскольку каждый из трех слагаемых пропорционален вектору р. Преобразуем каждый из членов этого уравнения в нужную нам форму следующим образом: в) Заменим вектор р на Р, откуда сразу получим p(cosß) - /(cosß)P, где /- единичная матрица размерностью три на три.
г) Используем тот факт (см. приложение Б), что скалярное произведение двух векторов р и может быть записано в форме произведения точки Р на матрицу: (птР) и покажем, что (р u)u - итиР, где uru - тензорное произведение, аналогичное приведенному в равенстве (5.46).
д) Используем утверждение из приложения Б, что векторное произведение двух векторов и х р может быть также записано в форме произведения Р на некоторую матрицу, и покажем, что u х р - Cross (u)jP, где матрица Cross(u) имеет следующий вид:
(5.49)е) Собирая эти члены вместе, получим матрицу1
М - совр / + (1 - соэр) иги + втр Сгозз(и), (5.50)
следовательно, М является суммой трех взвешенных матриц, что, несомненно, проще построить, чем произведение пяти матриц, как это было при классическом выводе.
ж) Выведите равенство (5.33) из равенства (5.50).
1 В работе Голдмана [Goldman, 83] приводится та же форма для матрицы Ми даются компактные результаты для нескольких других сложных преобразований.
эвакуатор для строительной техники.
5.8. Тематические задания Тематическое задание 5.6. Разложение трехмерных аффинных преобразований Уровень сложности III.
В данном тематическом задании рассматривается несколько обширных семейств аффинных преобразований.
Что такое трехмерное аффинное преобразование?
Мы вновь игнорируем связанную с перемещением часть аффинного преобразования и сосредоточимся на той его линейной части, которая представлена матрицей М размерностью три на три. Что же за преобразование «вложено» в М? Голдман [Goldman, 83] показал, что каждая такая матрица Мявляется произведением масштабирования 5, поворота R и двух сдвигов Я, и Я2, а именно: