Преобразования объектов
Тематическое задание 5.2. Рисование звезды с рисунка 5.39 с помощью многократных поворотов Уровень сложности I.
Разработайте функцию, которая рисует полигон, изображенный на рис. 5.39, б, являющийся одной пятой частью звезды с рис. 5.39, а. Используйте этот полигон и преобразования поворота для того, чтобы нарисовать целую звезду.
Тематическое задание 5.3. Разложение двумерного аффинного преобразования Уровень сложности II.
стоимость топпинга для бетона. echelon flex plus.
Как мы уже видели, некоторые аффинные преобразования могут быть представлены в виде комбинации других аффинных преобразований. Здесь мы «разложим» произвольное аффинное преобразование на комбинацию из масштабирований, поворотов и перемещений. Мы также покажем, что поворот может быть выполнен посредством трех последовательных сдвигов, что приводит нас к очень быстрой подпрограмме рисования дуг. Кроме того, здесь рассматриваются некоторые скрытые особенности каждого трехмерного аффинного преобразования.
Поскольку аффинное преобразование является линейным преобразованием с последующим смещением, опустим ту часть аффинного преобразования, которая отвечает за перемещение, и сосредоточимся на его линейности. Таким образом, мы будем использовать упрощенные матрицы размерностью два на два.
Два двумерных линейных преобразования Рассмотрим матрицу M размерностью два на два, представляющую двумерное линейное преобразование. Матрицу M всегда можно разложить на множители поворота, масштабирования и сдвига. Обозначим для краткости четыре элемента матрицы M буквами а, Ъ, с, d. Убедитесь с помощью непосредственного умножения, что M является произведением следующих трех матриц [Martin, 137]:
(5.39)где R = ^а2 + Ьг. Легко видеть, что крайняя матрица слева является сдвигом, средняя - масштабированием, а крайняя справа - поворотом. (Почему?) Следовательно, любое двумерное аффинное преобразование является поворотом, за которым следует масштабирование, а затем перемещение. Альтернативный вариант разложения рассматривается в тематическом задании 5.6.