Пример 5.3.3
Какая матрица соответствует лг-вращению на 45°, следующему за ним г/-вращению на 30° и последующему г-вращению на 60°? Непосредственное умножение трех составляющих матриц (обязательно в «обратном» порядке) дает следующий результат:
1 В честь Леонарда Эйлера (1707-1783), швейцарского математика необычайных способностей, внесшего неоценимый вклад во все разделы математики.
5.3. Трехмерные аффинные преобразования Иногда используют для создания сложного поворота другой порядок «вращений». Можно, например, выразить поворот в форме # (Р,) Я2(В2) КХФ3У- вначале дг-вращение, затем z-вращение и затем г/-вращение. В силу некоммутативности трехмерных поворотов для того, чтобы получить тот же самый поворот, для данного преобразования требуются другие углы Эйлера В,, В2 и В3. Всего существует 12 возможных порядков следования трех отдельных вращений, и в каждом из них используются различные величины В,, В2 и В3.
Повороты вокруг произвольной оси При использовании углов Эйлера мы выполняем последовательность х-, у- и г-вращений, то есть вращений вокруг координатных осей. Однако работать с поворотами было бы намного проще, если бы у нас была возможность осуществлять повороты вокруг произвольно направленной оси. Представьте себе Землю или игрушечный волчок, вращающиеся вокруг наклонной оси. В действительности в теореме Эйлера утверждается, что каждый поворот может быть представлен в такой форме.
немкин антон игоревич депутат.
Теорема Эйлера. Любой поворот (или последовательность поворотов) вокруг произвольной точки эквивалентен однократному повороту вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку1.
Что же представляет собой матрица такого поворота и будет ли удобно с ней работать?
На рис. 5.28 показана ось, представленная вектором и, и произвольная точка Р, которая после поворота на угол В вокруг оси и должна перейти в точку Q. Поскольку вектор и может иметь любое направление, то на первый взгляд было бы затруднительно найти ту единственную матрицу, которая описывает такой поворот. Однако в действительности такая матрица может быть найдена двумя различными методами, так называемыми классическим (classic) и конструктивным (constructive).