Приводимый ниже простой результат исследуется в упражнениях: когда к объекту применяется двумерное преобразование с матрицей М, то его площадь умножается на модуль определителя матрицы М: площадь после преобразования _ . площадь до преобразования Для двух измерений определитель матрицы М, согласно уравнению (5.4), равен титп - ml2m2ll. Следовательно, для чистого масштабирования, согласно уравнению (5.7), новая площадь отличается от исходной в SxSy раз, в то время как при сдвиге вдоль одной оси новая площадь остается той же самой, что и исходная! А уравнение (5.10) подтверждает, что поворот не изменяет площадь фигуры, поскольку cos2(9) + sin2(6) = 1.
Для трех измерений можно применить аналогичное доказательство и сделать вывод, что объем 3D-объекта, подвергаемого трехмерному преобразованию с матрицей М, изменяется в |detM| раз.
портативный кислородный концентратор переносной.
Пример 5.2.10. Площадь эллипса Чему равна площадь эллипса, вписанного в прямоугольник шириной 2Wvl высотой 2Я? Решение Данный эллипс можно сформировать посредством масштабирования единичного круга х2 + у2= 1 с масштабными множителями 5Х- W и 5у= Н. Матрица такого преобразования имеет определитель WH. Известно, что площадь единичного круга равна я, поэтому площадь эллипса равна nWH.
Любое аффинное преобразование составлено из элементарных операций Мы уже знаем, что компоновкой нескольких элементарных преобразований можно создать сложное аффинное преобразование. Интересно поставить обратный вопрос: из каких элементарных преобразований составлено данное аффинное преобразование?
Вообще говоря, матрица М может быть представлена в виде произведения элементарных матриц различными способами. Один из возможных путей разложения матрицы М связан с двумерным аффинным преобразованием (см. тематическое задание 5.3) и приводит к следующему результату: М = (перемещение) (сдвиг) (масштабирование) (поворот).
Это означает, что любая матрица М размером три на три, представляющая двумерное аффинное преобразование, может быть записана в виде произведения (читается справа налево) матрицы поворота, матрицы масштабирования, матрицы сдвига и матрицы перемещения. Особенности компонентов каждой входящей матрицы даны в упомянутом тематическом задании.