что, очевидно, также является параметрическим представлением некоторой плоскости.
Сохранение коллинеарности и «плоскостности» гарантирует, что полигоны будут преобразовываться в полигоны, а плоские полигоны (planar polygons) (все вершины которых лежат в одной плоскости) будут преобразовываться также в плоские полигоны. В частности, треугольники будут преобразовываться в треугольники.
Параллельность прямых и плоскостей сохраняется Если две прямые или плоскости параллельны, то их образы после аффинного преобразования также являются параллельными. Это легко доказать. Сначала сделаем это для прямых. Возьмем произвольную прямую А + Ы, имеющую направляющий вектор Ь. Эта прямая преобразуется в другую прямую, задаваемую в однородных координатах уравнением M'A + Ы) = MA + (Mb)t и имеющую направляющий вектор Mb. Это новое направление не зависит от точки А. Следовательно, две различные прямые: Л, + Ы и А2+ Ы, имеющие одно и то же направление, будут преобразованы в две прямые линии с одним и тем же направлением Mb, то есть эти прямые параллельны. Важным следствием этого свойства является то, что параллелограммы отображаются в другие параллелограммы.
Такое же доказательство применяется и к плоскости: ее направляющие векторы (см. уравнение 4.43) преобразуются в новые направляющие векторы, значения которых не зависят от расположения этой плоскости. Следствие этого свойства: параллелепипеды1 отображаются в другие параллелепипеды.
Пример 5.2.8. Преобразование сетки Поскольку аффинные преобразования отображают параллелограммы в параллелограммы, они могут менять форму геометрических объектов в достаточно ограниченных пределах. Для иллюстрации этого ограничения применим произвольное двумерное аффинное преобразование Т к единичной квадратной сетке, как показано на рис. 5.21. Поскольку сетка состоит из двух семейств параллельных прямых, преобразование Г отображает квадратную сетку в другую сетку, также состоящую из двух семейств параллельных прямых. Чтобы получить представление о том, каким образом искажаются объекты в резуль-