4.8.5. Более сложное отсечение
4.9. Резюме
4.9. Резюме Векторы представляют собой удобный способ выражения многих геометрических соотношений, а операции, производимые над векторами, являются мощным средством алгебраического управления геометрическими объектами. Многие алгоритмы компьютерной графики упрощаются и становятся более эффективными благодаря использованию векторов. Поскольку большинство векторных операций выражаются одинаково, независимо от размерности их базового пространства, можно получать результаты, одинаково верные для двумерного и для трехмерного пространства.
Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов является фундаментальной величиной, упрощающей нахождение длины вектора и угла между двумя векторами. Оно может быть также использовано для нахождения таких величин, как ортогональная проекция одного вектора на другой, расположение центра окружности, проходящей через три заданные точки, а также направление отраженного луча. Скалярное произведение часто используют для проверки ортогональности двух векторов друг другу и в более общем случае для проверки того, является ли угол между двумя векторами острым или тупым. Оно также применяется при работе с двумерным вектором а1 (перпом), который получается из заданного вектора а с помощью левого поворота на 90°. В частности, скалярное произведение а1 Ь (перп-скалярное произведение) дает важную информацию о том, как векторы а и Ь расположены относительно друг друга.
Векторное (внешнее) произведение двух векторов также дает информацию об угле между двумя векторами в трехмерном пространстве и, кроме того, задает вектор, перпендикулярный к ним обоим. Его часто используют для определения вектора, нормального к плоскости.
При разработке алгоритма важно иметь компактное представление участвующих в нем графических объектов. Двумя основными формами такого представления являются параметрическое представление и неявная форма. Параметрическое представление «посещает» каждую точку объекта по мере изменения параметра, так что этот параметр «указывает» на различные точки объекта.. Неявная форма представляет собой уравнение, которому должны удовлетворять все точки объекта, и только они. Обычно она имеет вид/(#, у) = О для двух измерений и /(х, у, г) - 0 для трех измерений, где /( ) - некоторая функция. Значение /( ) дает информацию не только о том, находится или нет заданная точка на объекте, знак/( ) может указывать, на какой стороне от объекта расположена заданная точка. В данной главе мы нашли представления для двух фундаментальных «плоских» объектов графики: прямых и плоскостей. Для этих объектов и параметрическая, и неявная формы являются линейными относительно своих аргументов. Неявная форма может быть наглядно записана в виде скалярного произведения нормального вектора и вектора, расположенного внутри объекта.