О Имеет смысл создание любой линейной комбинации векторов. Рассмотрим два вектора: v = = (»,, v2, v3,0) и w = (wt, w2, w3,0). Тогда для произвольных скаляров а и Ъ имеем av + bw = (avt + + bwv av2 + bw2, av3 + bw3,0), что действительно является вектором. Формирование линейной комбинации векторов четко определено, однако имеет ли это смысл для точек? Ответ является отрицательным, за исключением одного особого случая, который мы рассмотрим позже.
4.5.2. Аффинные комбинации точек Рассмотрим формирование линейной комбинации двух точек: Р= (Pt, Р2, Р3,1) и R = (#,, R2, R3,1) со скалярами / и g.
fP + gR = (fPt + gRvfP2 + gR2,fP3 + gR3,f + g).Мы знаем, что результат является истинным вектором, если /+g = 0. Однако мы увидим, что результат не является истинной точкой, если только не выполняется равенство / + g = 1 ! Вспомним равенство (4.3): когда сумма коэффициентов линейной комбинации равна единице, это равенство называется «аффинной» комбинацией. Таким образом, мы видим, что единственная истинная линейная комбинация точек - это аффинная комбинация. Например, объект 0,ЗР + 0,7R является истинной точкой, равно как и 2,7Р - 1,7R и точка 0,5Р + 0,5R, однако Р + R точкой не является. Для трех точек, Р, R и Q можно сформировать истинную точку 0,ЗР + 0,9/2 - 0,2 Q, но не Р + Q - 0,97?. Таким образом, любая аффинная комбинация точек является истинной точкой.
Но что же является неправильным с точки зрения геометрии при формировании произвольной линейной комбинации двух точек, например, таких:
E-fP + gR,когда сумма / + g отлична от единицы? Неправильно то, что возникает проблема при смещении начала отсчета системы координат [Goldman, 85]. Пусть начало отсчета смещено на вектор и, тогда точка Р смещена на Р + и, а точка R смещена на R + и. Если £ является истинной точкой, то она также должна быть смещена в новую точку Е' = Е + и. Однако вместо этого мы имеем:
E-=fP + gR + (f + g)u,что не равно Е + и, несмотря на то, что / + g = 1.
4.5. Отображение ключевых геометрических объектов