Рис. 2.31. Золотой прямоугольник Число ф знаменито в математике во многих отношениях, вот два самых известных примера:
(2.10)2.6. Тематические задания
(2.11)Обе эти формулы легко доказываются (как?) и демонстрируют замечательную простоту использования единственной цифры 1.
То обстоятельство, что золотой прямоугольник содержит в себе уменьшенную копию себя самого, предполагает вид «бесконечной регрессии» фигур внутри фигур внутри фигур и далее до бесконечности. Рисунок 2.32 демонстрирует такую регрессию. Мы просто удаляем квадраты из каждого последующего золотого прямоугольника.
Напишите приложение, которое рисует регрессию золотых прямоугольников в центре экранного окна размером 600 пикселов в ширину и 400 пикселов в высоту. Вначале определите, где и какого размера будет наибольший золотой прямоугольник, который поместится в этом окне. Ваше изображение должно регрессировать до тех пор, пока меньший прямоугольник не достигнет размера в один пиксел.
О золотом отношении можно рассказать еще много интересного, много связанных с ним развлечений можно найти в [Gardner, 75; Hill, 108; Huntley, 113; Ogilvy, 148]. Например, в следующей главе мы рассмотрим золотые пентаграммы, а в главе 6 увидим, что два из Платоновых тел, додекаэдр и икосаэдр, содержат три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника!
Практические упражнения 2.6.2. Другие золотые вещи Уравнение (2.10) представляет ф в форме повторяющегося квадратного корня с участием единицы. Чему равна величина
2.6.3. О ф и золотых прямоугольниках
О Докажите, что равенства (2.10) и (2.11) верны.
О Найдите точку, в которой пересекаются две штриховые диагонали, показанные на рис. 2.32, и докажите, что это и есть точка, к которой сходится последовательность золотых прямоугольников.
О Используйте равенство (2.8) для вывода следующего соотношения:
Рис. 2.32. Бесконечные приближения к золотому прямоугольнику
(2.12)