В разделе 4.5 «Отображение ключевых геометрических объектов» вводятся понятия координатного фрейма (coordinate frame) и однородных координат (homogeneous coordinates); делается акцент на том, что между точками и векторами как геометрическими объектами есть существенные различия. Кроме того, в этом разделе рассказывается о двух важных математических понятиях - прямой и плоскости - с указанием того, где используется каждое из них. Вводится понятие аффинных преобразований точек, а также описывается интересный тип анимации, известный как «твининг» («tweening» - построение промежуточных отображений), в котором применяются кривые Безье (Bezier curves).
В разделе 4.6 «Определение точки пересечения двух отрезков прямой» исследуется важная проблема нахождения точки пересечения двух отрезков прямых, которая значительно упрощается с применением векторов. В этом разделе также обсуждается задача нахождения единственной окружности, проходящей через три заданные точки. В разделе 4.7 «Пересечения прямых с плоскостями; отсечение» исследуется вопрос о том, где «луч» пересекает прямую или плоскость, причем используются понятия, связанные с проблемой отсечения. Раздел 4.8 «Задачи о пересечениях многоугольников» посвящен отсечению прямых границами выпуклых многоугольников и многогранников; в связи с этим излагается мощный алгоритм отсечения Сайруса-Бека (Cyrus-Beck).
Глава заканчивается тематическими заданиями, в которых расширяется инструментарий средств, рассмотренных в основном тексте, а также предоставляется возможность обогатить свои навыки в графическом программировании. Задания включают в себя обработку многоугольников, эксперименты с «трассировкой лучей» на плоскости, скругление углов на фигурах, получение анимации при помощи твининга, а также совершенствование методов отсечения.
4.1. Введение В компьютерной графике мы работаем с объектами, заданными в трехмерном мире (двумерные объекты и миры являются лишь его частными случаями). Все подлежащие рисованию объекты, а также «камеры», используемые для их рисования, имеют форму, положение и ориентацию. Мы должны писать компьютерные программы, которые каким-либо образом описывают эти объекты и отражение ими падающего на них света, с тем чтобы вычислить результирующие значения пикселов на дисплее. Представьте себе мультфильм, где камера летит по неровной сцене, содержащей различные здания, деревья, дороги и автомобили. Что же «видит» камера? Все, что бы она ни увидела, необходимо в конечном счете перевести в цифры. Это нелегкая задача.