Практические упражнения 3.8.1.0 геометрии эллипса Эллипс является множеством всех точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов есть величина постоянная. Точка (с, 0) на рис. 3.52 образует одни фокус, а точка (-с, 0) - второй. Покажите, что Я, W и с связаны соотношением: W2 = Я2 + с2.
3.8. Применение параметрического задания кривой
3.8.2. Как эксцентрично!
Эксцентриситет (eccentricity) эллипса е - c/W- это мера отклонения эллипса от кругообразности, причем для точной окружности эксцентриситет равен 0. Интересным примером являются планеты Солнечной системы: они имеют орбиты, очень близкие к круговым, для них е изменяется от 1/143 (Венера) до 1/4 (Плутон). Орбита Земли имеет эксцентриситет е - 1/60. Когда эксцентриситет достигает единицы, эллипс расплющивается в прямую линию. Каково соотношение H/W высоты к ширине для эллипса, имеющего е = 0,99?
3.8.3. Другие конические сечения Эллипс является одним из трех конических сечений, то есть кривых, образующихся при пересечении («сечении») кругового конуса плоскостью, как показано на рис. 3.56. Конические сечения бывают следующих видов: О Эллипс: плоскость пересекает одну полость конуса.
О Парабола: плоскость параллельна образующей конуса.
О Гипербола: плоскость пересекает обе полости конуса.
Парабола и гипербола имеют интересные и полезные геометрические свойства. Обе они имеют простые неявные и параметрические представления.
Рис. 3.56. Классические конические сечения Покажите, что следующие параметрические представления соответствуют приведенным неявным формам. О Парабола. Неявная форма: у2 - Аах = 0.
x(t) = at2, y(t) = lot. (3.15)О Гипербола. Неявная форма: (х/а)2- (y/b)2= 1.
x(t) = a sec (t),y (0 = Ъ tg(t). (3.16)
Каким должен быть промежуток изменения параметра t, чтобы пройти всю гиперболу? Замечание: гипербола определяется как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух фокусов есть величина постоянная. Покажите, что если фокусы имеют координаты (-с, 0) и (+с, 0), то а и b должны быть связаны соотношением с2 - а2 + Ь2.